Główna Удовольствие от x. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в...

Удовольствие от x. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

0 / 0
Jak bardzo podobała Ci się ta książka?
Jaka jest jakość pobranego pliku?
Pobierz książkę, aby ocenić jej jakość
Jaka jest jakość pobranych plików?
Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.
Kategorie:
Rok:
2014
Wydawnictwo:
Манн, Иванов и Фербер
Język:
russian
Strony:
304 / 293
ISBN 13:
9785000570081
Plik:
PDF, 5,46 MB
Ściągnij (pdf, 5,46 MB)

Możesz być zainteresowany Powered by Rec2Me

 

Najbardziej popularne frazy

 
0 comments
 

To post a review, please sign in or sign up
Możesz zostawić recenzję książki i podzielić się swoimi doświadczeniami. Inni czytelnicy będą zainteresowani Twoją opinią na temat przeczytanych książek. Niezależnie od tego, czy książka ci się podoba, czy nie, jeśli powiesz im szczerze i szczegółowo, ludzie będą mogli znaleźć dla siebie nowe książki, które ich zainteresują.
2

Секта чисел. Теорема Пифагора

Рік:
2014
Мова:
russian
Файл:
PDF, 51,14 MB
0 / 0
Эту книгу хорошо дополняют:
Кванты
Скотт Паттерсон

Brainiac
Кен Дженнингс

Moneyball
Майкл Льюис

Гибкое сознание
Кэрол Дуэк

Физика фондового рынка
Джеймс Уэзеролл

Steven Strogatz

The Joy of x
A Gu i d ed T o u r of M at h ,
fr o m On e to I n f i n i t y

An Eamon Dolan Book

Стивен Строгац

Удовольствие от х
Увлекат ель н о е п у т еш е с т ви е в м и р
математ и к и о т о д н о г о и з л у ч ш и х
пр еп о д а в а т ел ей в ми р е

Перевод с английского

Издательство «Манн, Иванов и Фербер»
Москва, 2014

УДК 512
ББК 22.1я9
C86
На русском языке публикуется впервые
Издано с разрешения Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгац, П.
C86 Удовольствие от х. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац ; пер. с англ. — М. :
Манн, Иванов и Фербер, 2014. — 304 с.
ISBN 978-500057-008-1
Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из
коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете
насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть
геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры,
понятные каждому.

УДК 512
ББК 22.1я9

Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в
какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая
фирма «Вегас-Лекс»

©
©

ISBN 978-500057-008-1

Steven Strogatz, 2012
All rights reserved
Перевод на русский язык, издание на русском языке,
оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2014

Оглавление
Предисловие ........................................................................................................................... 9

Часть I

ЧИСЛА

1. Основы чисел: сложение рыбок .......................................................................; .............. 15
2. Каменная арифметика .................................................................................................. 19
3. Враг моего врага ............................................................................................................. 25
4. Коммутативность: перемена мест сомножителей..................................................... 33
5. Деление и его проблемы ................................................................................................ 39
6. Твердая позиция .............................................................................................................. 45

Часть II

СООТНОШЕНИЯ

7. Получая радость от х ...................................................................................................... 55
8. В поиске своих корней .................................................................................................... 61
9. Ванна моя преисполнена ................................................................................................ 69
10. Игра с квадратами ........................................................................................................ 77
11. Инструменты силы........................................................................................................ 85

Часть III

ФИГУРЫ

12. Танец квадратов ............................................................................................................ 95
13. Кое-что из ничего ........................................................................................................ 103
14. Конический заговор .................................................................................................... 111
15. Непременное условие ................................................................................................. 121
16. Идти до предела .......................................................................................................... 129

УДОВОЛЬСТВИЕ ОТ Х

8

Часть IV

ВРЕМЯ ПЕРЕМЕН

17. Перемены, в которые мы можем поверить............................................................. 139
18. Хоть ломтиками, хоть кубиками .............................................................................. 147
19. Все о числе e ................................................................................................................ 155
20. Любит не любит ........................................................................................................... 163
21. Выйди на свет .............................................................................................................. 169

Часть V

МНОГОЛИКИЕ ДАННЫЕ

22. Новая нормальность ................................................................................................... 181
23. Шансы — это… ............................................................................................................. 189
24. Распутывание всемирной паутины ........................................................................... 195

Часть VI

ГРАНИЦЫ ВОЗМОЖНОГО

25. Самые одинокие числа ............................................................................................... 205
26. Групповое мышление ................................................................................................. 213
27. Кручение и склеивание ............................................................................................... 221
28. Мысли глобально ........................................................................................................ 229
29. Анализируй это! .......................................................................................................... 237
30. Отель Гильберта .......................................................................................................... 247
От автора............................................................................................................................. 255
Примечания ........................................................................................................................ 257
Предметный указатель..................................................................................................... 291

Предисловие

У меня есть друг, который, несмотря на свое ремесло (он — художник),
страстно увлечен наукой. Всякий раз, когда мы собираемся вместе, он
с энтузиазмом рассуждает о последних достижениях в области психологии или квантовой механики. Но стоит нам заговорить о математике —
и он чувствует дрожь в коленках, что его сильно огорчает. Он жалуется,
что эти странные математические символы не только не поддаются его
пониманию, но порой он даже не знает, как их произносить.
На самом деле причина его неприятия математики гораздо глубже. Он
никак не возьмет в толк, чем математики вообще занимаются и что имеют
в виду, когда говорят, что данное доказательство изящно. Иногда мы шутим, что мне нужно просто сесть и начать его учить с самых азов, буквально с 1 + 1= 2, и углубиться в математику настолько, насколько он сможет.
И хотя эта затея кажется безумной, именно ее я и попытаюсь осуществить в данной книге. Я проведу вас по всем основным разделам науки,
от арифметики до высшей математики, чтобы те, кто хотел получить второй шанс, наконец смогли им воспользоваться. И на сей раз вам не придется садиться за парту. Эта книга не сделает вас экспертом в математике.
Зато поможет разобраться в том, что изучает данная дисциплина и почему она так увлекательна для тех, кто это понял.
Мы узнаем, как слэм-данки* Майкла Джордана могут помочь объяснить азы исчисления. Я покажу вам простой и потрясающий способ, как
* Слэм-данк — вид броска в баскетболе, при котором игрок выпрыгивает вверх
и одной или двумя руками бросает мяч сквозь кольцо сверху вниз. Прим. перев.

10

ПРЕДИСЛОВИЕ

понять основополагающую теорему евклидовой геометрии — теорему
Пифагора. Мы постараемся добраться до самой сути некоторых тайн
жизни, больших и малых: убивал ли свою жену Джей Симпсон*; как перекладывать матрас, чтобы он прослужил максимально долго; сколько
партнеров нужно сменить перед тем, как сыграть свадьбу, — и увидим,
почему одни бесконечности больше, чем другие.
Математика повсюду, надо только научиться ее узнавать. Можно разглядеть синусоиду на спине зебры, услышать отголоски теорем Евклида
в Декларации о независимости; да что там говорить, даже в сухих отчетах, предшествовавших Первой мировой войне, присутствуют отрицательные числа. Также можно увидеть, как на нашу сегодняшнюю жизнь
влияют новые направления математики, например, когда мы ищем рестораны с помощью компьютера или пытаемся хотя бы понять, а еще
лучше — пережить пугающие колебания фондового рынка.
По случайному, хотя и уместному для книги о числах совпадению,
идея ее написания родилась в день, когда мне исполнилось пятьдесят.
Дэвид Шипли, автор нескольких обзорных статей в New York Times,
как раз пригласил меня (не зная о моем полувековом юбилее) на обед.
Он спросил, не хочу ли я написать серию статей о математике для его
читателей. Мне очень понравилась эта идея, и я был готов поделиться
радостью от занятий математикой не только с моим любознательным
другом-художником, но и с более широкой аудиторией.
Серия из 15 статей под общим названием «Основы математики»
появилась в сети в конце января 2010 года. В ответ на их публикацию
посыпались письма и комментарии от читателей всех возрастов, среди
которых было много студентов и преподавателей. Встречались и просто
любознательные люди, по тем или иным причинам «сбившиеся с пути»
постижения математической науки; теперь же они почувствовали, что
упустили что-то сто2ящее, и хотели бы попробовать еще раз. Особую
* Джей Симпсон — известный игрок в американский футбол. Сыграл роль детектива Нортберга в знаменитой трилогии «Голый пистолет». Был обвинен в убийстве бывшей жены и ее друга и оправдан, невзирая на улики. Прим. перев.

ПРЕДИСЛОВИЕ

11

радость мне доставляли благодарности от родителей за то, что они
с моей помощью смогли объяснить математику своим детям, да и сами
стали лучше ее понимать. Казалось, что даже мои коллеги и товарищи,
горячие поклонники этой науки, получали удовольствие от чтения статей, за исключением тех моментов, когда они наперебой предлагали всевозможные рекомендации по улучшению моего детища.
Несмотря на расхожее мнение, в обществе наблюдается явный интерес к математике, хотя этому феномену и уделяют мало внимания. Мы
только и слышим, что о страхе перед математикой, и тем не менее, многие с радостью бы попробовали разобраться в ней лучше. И стоит этому
случиться — их уже будет трудно оторвать.
Данная книга познакомит вас с самыми сложными и передовыми
идеями из мира математики. Главы небольшие, легко читаются и особо
не зависят друг от друга. Среди них есть и вошедшие в ту, первую серию
статей в New York Times. Так что как только почувствуете легкий математический голод, не раздумывая беритесь за следующую главу. Если захотите подробнее разобраться в заинтересовавшем вас вопросе, то в конце
книги есть примечания с дополнительной информацией и рекомендациями, что еще об этом можно почитать.
Для удобства читателей, которые предпочитают пошаговый подход,
я разбил материал на шесть частей в соответствии с традиционным порядком изучения тем.
Часть I «Числа» начинает наше путешествие с арифметики в детском
саду и начальной школе. В ней показано, насколько полезными бывают числа и как они магически эффективны при описании окружающего мира.
Часть II «Соотношения» переводит внимание с самих чисел на соотношения между ними. Эти идеи лежат в основе алгебры и являются
первыми инструментами для описания того, как одно влияет на другое,
проявляя причинно-следственную связь самых разных вещей: спроса
и предложения, стимула и реакции — словом, всех видов отношений,
которые делают мир столь многогранным и богатым.

12

ПРЕДИСЛОВИЕ

Часть III «Фигуры» повествует не о числах и символах, а о фигурах
и пространстве — вотчине геометрии и тригонометрии. Эти темы, наряду с описанием всех обозримых объектов посредством форм, с помощью логических рассуждений и доказательств поднимают математику
на новый уровень точности.
В части IV «Время перемен» мы рассмотрим исчисления — самое
впечатляющее и многогранное направление математики. Исчисления
позволяют предсказать траекторию движения планет, циклы приливов
и отливов и дают возможность понять и описать все периодически меняющиеся процессы и явления во Вселенной и внутри нас. Важное место в этой части отведено изучению бесконечности, усмирение которой
стало прорывом, позволившим вычислениям заработать. Вычисления
помогли решить многие задачи, возникшие еще в античном мире, и это,
в конечном счете, привело к революции в науке и современном мире.
Часть V «Многоликие данные» имеет дело с вероятностью, статистикой, сетями и обработкой данных — это все еще относительно молодые области, порожденные не всегда упорядоченными сторонами нашей
жизни, такими как возможность и удача, неуверенность, риск, изменчивость, хаотичность, взаимозависимость. Используя подходящие средства математики и соответствующие типы данных, мы научимся обнаруживать закономерность в потоке случайностей.
В конце нашего путешествия в части VI «Границы возможного» мы
приблизимся к пределам математического знания, к пограничной области между тем, что уже известно, и тем, что пока неуловимо и не познано.
Мы вновь пройдемся по темам в уже знакомом нам порядке: числа, соотношения, фигуры, изменения и бесконечность, — но при этом рассмотрим каждую из них более глубоко, в ее современном воплощении.
Я надеюсь, что все идеи, описанные в этой книге, покажутся вам увлекательными и не раз заставят воскликнуть: «Ну и ну!» Но всегда с чегото нужно начинать, поэтому давайте начнем с простого, но такого завораживающего действия, как счет.

Часть I

ЧИСЛА

Основы чисел: сложение рыбок

1

Лучшую демонстрацию концепции чисел, которую я когда-либо
видел (самое ясное и забавное объяснение того, что такое числа и зачем
они нам нужны), я наблюдал в одном из выпусков популярной детской
передачи «Улица Сезам», который называется «123: считаем вместе»
(123 Counter with Me). Хамфри, добродушный, но недалекий персонаж
с розовой шерсткой и зеленым носом, работающий в отеле «Мохнатые
лапы», в обеденное время принимает по телефону заказ от пингвиновпостояльцев. Внимательно их выслушав, Хамфри передает заказ на кухню: «Рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка». Увиденное побуждает
Эрни рассказать Хамфри о достоинствах числа шесть.

16

ЧИСЛА

Дети узнаю2т, что числа — великолепный инструмент, который позволяет получить нужное количество порций быстрее. Вместо того чтобы
повторять слово «рыбка» столько раз, сколько пингвинов в комнате,
Хамфри может использовать более эффективный способ — посчитать
и сразу назвать число шесть.
Впрочем, став старше, мы начинаем замечать у чисел и слабые стороны. Да, они прекрасно экономят время, но немалой платой за это
становится их абстрактность. Число шесть более эфемерно, чем «шесть
рыбок» — именно потому, что оно универсально. Шесть может быть
чего угодно: шесть тарелок, шесть пингвинов, шесть раз произнесенное
слово «рыбка». Число создает некую неявную общность между приведенными примерами.
Рассматриваемые таким образом числа начинают казаться мистическими. Они, очевидно, существуют в некоем идеальном мире Платона,
где-то над действительностью, и в этом смысле больше походят на другие возвышенные понятия (например, истина и справедливость) и меньше — на обычные объекты повседневной жизни. Чем активнее вы о них
думаете, тем дальше они удаляются от реальности. Как появились числа?
Изобрели ли их люди? Или лишь обнаружили?
Еще один нюанс заключается в том, что числа (как и все математические идеи) живут своей жизнью1. Они нам неподвластны, хотя и присутствуют в наших умах. Даже определив, что мы под ними понимаем, мы
не можем предсказать, как они себя поведут. Они подчиняются определенным законам и имеют определенные свойства, индивидуальные особенности и способы объединения друг с другом, и мы ничего не в силах с этим
поделать, кроме как наблюдать и пытаться понять. В этом смысле они похожи на атомы и звезды: объекты, которые также существуют по своим
(неподконтрольным нам) законам и находятся вне зоны нашего сознания.
Эта двойственная природа чисел — принадлежность к небесам и земным делам, — возможно, их самая парадоксальная черта и особенность,
которая делает их настолько полезными. Это то, что имел в виду физик
Юджин Вигнер, когда писал о неблагоразумной эффективности математики в естественных науках2.

ОСНОВЫ ЧИСЕЛ: СЛОЖЕНИЕ РЫБОК

17

Для того чтобы прояснить, что я имею в виду под жизнью чисел и их
поведением, которое мы не можем контролировать, давайте вернемся
в отель «Мохнатые лапы». Предположим, что Хамфри как раз собрался
передать заказ, но тут ему неожиданно позвонили пингвины из другого
номера и тоже попросили такое же количество рыбы. Сколько раз Хамфри должен прокричать слово «рыбка» после получения двух заказов?
Если бы он ничего не узнал о числах, то ему пришлось бы кричать столько раз, сколько всего пингвинов в обеих комнатах. Или, используя числа,
он мог объяснить повару, что ему нужно шесть рыбок для одного номера
и шесть для другого. Но то, что ему действительно необходимо, представляет собой новую концепцию — сложение. Как только он его освоит, он с гордостью скажет, что ему нужно шесть плюс шесть (или, если он
позер, двенадцать) рыбок.
Это такой же творческий процесс, как и тот, когда мы только придумывали числа. Так же как числа упрощают подсчет по сравнению
с перечислением по одному, сложение упрощает вычисление любой суммы. При этом тот, кто производит подсчет, развивается как математик.
По-научному эту мысль можно сформулировать так: использование правильных абстракций приводит к более глубокому проникновению в суть
вопроса и большему могуществу при его решении.
Вскоре, возможно, даже Хамфри поймет, что теперь он всегда может
производить подсчет.
Однако, несмотря на столь бесконечную перспективу, наше творчество всегда имеет какие-то ограничения. Мы можем решить, что подразумеваем под 6 и +, но как только это сделаем, результаты выражений,
подобных 6 + 6, окажутся вне нашего контроля. Здесь логика не оставит
нам выбора. В этом смысле математика всегда включает в себя как изобретение, так и открытие: мы изобретаем концепции, но открываем их
последствия. Как станет ясно из следующих глав, в математике наша свобода заключается в возможности задавать вопросы и настойчиво искать
на них ответы, однако не изобретая их самостоятельно.

Каменная арифметика

2

Как и любое явление в жизни, арифметика имеет две стороны: формальную и занимательную (или игровую).
Формальную часть мы изучали в школе. Там нам объясняли, как работать со столбцами чисел, складывая и вычитая их, как перелопачивать их
при выполнении расчетов в электронных таблицах при заполнении налоговых деклараций и подготовки годовых отчетов. Эта сторона арифметики кажется многим важной с практической точки зрения, но совершенно безрадостной.
С занимательной стороной арифметики можно познакомиться только в процессе изучения высшей математики3. Тем не менее, она так же
естественна, как и любопытство ребенка4.
В эссе «Плач математика» Пол Локхарт предлагает изучать числа
на более конкретных, чем обычно, примерах: он просит, чтобы мы представили их в виде некоторого количества камней. Например, число 6 соответствует вот такому набору камешков:

20

ЧИСЛА

Вы вряд ли увидите тут что-то необычное. Так оно и есть. Пока мы
не приступим к манипуляциям с числами, они выглядят примерно одинаково. Игра начинается, когда мы получаем задание.
Например, давайте посмотрим на наборы, в которых есть от 1 до
10 камней, и попробуем сложить из них квадраты. Это можно сделать только с двумя наборами — из 4 и 9 камней, поскольку 4 = 2 × 2
и 9 = 3 × 3. Мы получаем эти числа путем возведения в квадрат некоего
другого числа (то есть раскладывая камни в виде квадрата).

Вот задача, имеющая большее число решений: надо узнать, из каких
наборов получится прямоугольник, если разложить камни в два ряда
с равным количеством элементов. Здесь подойдут наборы из 2, 4, 6, 8 или
10 камней; число должно быть четным. Если мы попробуем разложить
в два ряда оставшиеся наборы с нечетным количеством камней, то у нас
неизменно будет оставаться лишний камень.

Но не все потеряно для этих неудобных чисел! Если взять два таких
набора, то лишние элементы найдут себе пару, и сумма получится четной: нечетное число + нечетное число = четное число.

КАМЕННАЯ АРИФМЕТИКА

21

Если распространить эти правила на числа, идущие после 10, и считать,
что количество рядов в прямоугольнике может быть больше двух, то
некоторые нечетные числа позволят сложить такие прямоугольники.
Например, число 15 может составить прямоугольник 3 × 5.

Поэтому хотя 15, несомненно, нечетное число, оно является составным и может быть представлено в виде трех рядов по пять камней в каждом. Точно так же любая запись в таблице умножения дает собственную
прямоугольную группу камешков.
Но некоторые числа, вроде 2, 3, 5 и 7, совершенно безнадежны. Из них
нельзя выложить ничего, кроме как расположить их в виде простой линии (одного ряда). Эти странные упрямцы — знаменитые простые числа.
Итак, мы видим, что числа могут иметь причудливые структуры, которые наделяют их определенным характером. Но, чтобы представить
весь спектр их поведения, надо отстраниться от отдельных чисел и понаблюдать за тем, что происходит во время их взаимодействия.
Например, вместо того чтобы сложить всего два нечетных числа, сложим все возможные последовательности нечетных чисел, начиная с 1:
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Удивительно, но эти суммы всегда оказываются идеальными квадратами. (О том, что 4 и 9 можно представить в виде квадратов, мы уже
говорили, а для 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 это тоже верно.) Быстрый подсчет показывает, что это правило справедливо и для бо2льших нечетных
чисел и, видимо, стремится к бесконечности. Но какая же связь между

22

ЧИСЛА

нечетными числами с их «лишними» камнями и классически симметричными числами, образующими квадраты? Правильно располагая
камешки, мы можем сделать ее очевидной, что является отличительной
чертой изящного доказательства.5
Ключом к нему будет наблюдение, что нечетные числа можно представить в виде равносторонних уголков, последовательное наложение
которых друг на друга образует квадрат!

Подобный способ рассуждений представлен еще в одной недавно
вышедшей книге. В очаровательном романе Ёко Огавы The Housekeeper
and the Professor («Домработница и профессор») рассказывается о проницательной, но необразованной молодой женщине и ее десятилетнем
сыне. Женщину наняли ухаживать за пожилым математиком, у которого
из-за полученной черепно-мозговой травмы в краткосрочной памяти сохраняется информация только о последних 80 минутах жизни. Потерявшись в настоящем, один в своем убогом коттедже, ничего не имея, кроме
чисел, профессор пытается общаться с домработницей единственным
известным ему способом: спрашивая о размере ее обуви или дате рождения и ведя с нею светскую беседу о ее расходах. Профессор также питает
особую симпатию к сыну экономки, которого называет Рут (Root — корень), потому что у мальчика сверху плоская голова, и это напоминает
ему обозначение в математике квадратного корня Í.
Однажды профессор предлагает мальчику простую задачу — найти
сумму всех чисел от 1 до 10. После того как Рут аккуратно складывает
все числа между собой и возвращается с ответом (55), профессор просит

КАМЕННАЯ АРИФМЕТИКА

23

его поискать более простой способ. Сможет ли он найти ответ без обычного сложения чисел? Рут пинает стул и кричит: «Это несправедливо!»
Мало-помалу домработница тоже втягивается в мир чисел и сама тайно пытается решить эту задачу. «Я не понимаю, почему так увлеклась
детской задачкой, которая не имеет никакой практической пользы», —
говорит она. «Сначала я хотела угодить профессору, но постепенно это
занятие превратилось в сражение между мной и числами. Когда я просыпалась утром, уравнение уже ждало меня:
1 + 2 + 3 +. . . + 9 + 10 = 55,
и весь день следовало по пятам, будто было выжжено на сетчатке моих
глаз, и его никак не получалось проигнорировать». Существует несколько путей решения задачи профессора (интересно, сколько сможете найти вы). Профессор сам предлагает способ рассуждений, который мы уже
применили выше. Он интерпретирует сумму от 1 до 10 в виде треугольника из камешков, с одним камешком в первой строке, двумя во второй
и так далее, до десяти камешков в десятом ряду.

24

ЧИСЛА

Эта картинка дает четкое представление о негативном пространстве.
Оказывается, оно заполнено только наполовину, что показывает направление творческого прорыва. Если скопировать треугольник из камешков, перевернуть его и соединить с уже существующим, то получится
нечто весьма простое: прямоугольник с десятью рядами по 11 камешков
в каждом, причем общее число камней составит 110.

Так как исходный треугольник — половина этого прямоугольника,
то вычисляемая сумма чисел от 1 до 10 должна быть половиной 110, то
есть 55.
Представление числа в виде группы камешков может показаться необычным, но на самом деле так же старо, как и сама математика. Слово
«вычислять» (англ. calculate) отражает это наследие и происходит от латинского calculus, означающего «галька», которую римляне использовали при выполнении вычислений. Чтобы получать удовольствие от манипуляций с числами, не обязательно быть Эйнштейном (что по-немецки
означает «один камень»), но, возможно, умение жонглировать камешками облегчит вам это занятие.

Враг моего врага

3

В начальной школе вычитание учат сразу после сложения. И в этом,
безусловно, есть смысл: в обоих случаях применяется счет чисел, только
при вычитании он выполняется в обратную сторону. Психологически
действия тоже похожи: ребенок учится брать и давать примерно в одно
и то же время. Сложение и вычитание всегда идут рука об руку. Если человек готов посчитать, сколько будет 23 + 9, то не сомневайтесь, он скоро ответит и на вопрос, сколько будет 23 – 9.
Но если углубиться в эту тему, то в отличие от сложения вычитание
создает довольно неприятную проблему, поскольку в результате могут
появиться отрицательные числа. Если я захочу взять у вас 6 булочек,
а у вас их только 2, то в реальности у меня ничего не получится. Зато
в уме я навешу на вас 4 отрицательные булочки, что бы это ни значило.
Вычитание заставляет нас расширить свое представление о числах.
Отрицательные числа более абстрактны, чем положительные. Четыре
отрицательные булочки не потрогаешь и не съешь, зато их можно представить. Самое интересное, что в реальном мире отрицательные числа
тоже встречаются: долги, перерасход по кредитной карте, минусовые
температуры зимой и обозначения подвальных уровней на крытых
парковках.
Многие из нас пока еще не заключили мир с отрицательными числами. Как заметил мой коллега Энди, люди придумали всевозможные

26

ЧИСЛА

забавные мелкие уловки, чтобы обойти страшный отрицательный знак
«минус». В отчетах паевых инвестиционных фондов потери (отрицательные числа) печатаются красным или заключаются в круглые скобки,
чтобы минусы ни в коем случае не появились. В исторических книгах
сказано, что Юлий Цезарь родился в 100 году до н. э., а не в –100 году.
Подземные уровни парковки часто обозначаются как B1 и B2. Температура — одно из немногих исключений, когда люди действительно говорят, что она составляет –5 градусов, хотя и в этом случае многие предпочитают фразу «5 градусов ниже нуля». Видимо, в отрицательном знаке
есть нечто отталкивающее и… негативное.
Возможно, самое неприятное заключается в том, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому позвольте привести доводы в защиту знака минус.
Как нам определить ценность такого выражения, как –1 × 3, где мы
умножаем отрицательное число на положительное? Ну хорошо, так
как 1 × 3 означает сумму 1 + 1 + 1, естественно представить –1 × 3 как
(–1) + (–1) + (–1), что равняется –3. Это должно стать очевидным в примере с деньгами: если вы должны мне 1 доллар в неделю, то по истечении
трех недель вы мне будете должны 3 доллара.
Отсюда уже недалеко до понимания, почему минус, умноженный
на минус, дает плюс. А теперь взгляните на следующий ряд равенств:
–1  3 = –3
–1  2 = –2
–1  1 = –1
–1  0 = 0
–1  –1 =?
Посмотрите на числа в правой части равенств и удостоверьтесь в том,
что это обычная прогрессия: –3, –2, –1, 0... На каждом шаге мы добавляем 1 к предыдущему числу. Таким образом, разве не логично, что следующим числом будет 1?

ВРАГ МОЕГО ВРАГА

27

Это один аргумент в пользу того, почему (–1) × (–1) = 1. Привлекательность такого толкования заключается в том, что оно позволяет сохранить
правила обычной арифметики — получается, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Но если вы бесчувственный прагматик, то, вероятно, будете удивлены,
что у этих абстракций есть некие параллели в реальном мире. По общему признанию, жизнь иногда играет по различным правилам. В обычных
этических построениях два заблуждения не приводят к истине. Более
того, двойные отрицания не всегда равнозначны утверждению; они могут
усилить отрицание, как в случае с «Я не могу получить никакого удовлетворения». (Действительно, в этом отношении язык может быть очень
мудреным. Выдающийся британский философ и лингвист Дж. Остин
из Оксфорда как-то в своей лекции заявил, что во многих языках двойное отрицание дает утверждение, но ни в одном дважды повторенное
утверждение не дает отрицания. На что сидевший в аудитории философ из Колумбии Сидни Мордженбессер ехидно процедил: «Да-да».)
Тем не менее есть немало случаев, когда реальный мир действительно
отражает правила умножения отрицательных чисел. Например, возбуждение одной нервной клетки может быть подавлено возбуждением второй нервной клетки. Если в этот момент возбуждение второй нервной
клетки подавляется третьей нервной клеткой, то первая клетка может
снова возбудиться. Косвенное воздействие третьей клетки на первую вызывает ее возбуждение. Таким образом, последовательность двух отрицаний приводит к утверждению. Подобные эффекты происходят и при
регуляции генов: белок может включить ген, блокируя другую молекулу,
которая подавляла этот отрезок молекулы ДНК.
Возможно, самую понятную параллель можно провести в социальнополитической сфере. Как утверждает пословица, «враг моего врага —
мой друг». Общеизвестно, что понятия вроде «друг моего врага»,
«враг моего друга» и тому подобные можно подставить в виде треугольника отношений.6

28

ЧИСЛА

В углы треугольника помещают людей, компании или страны, а соединяющие их стороны показывают отношения между ними, которые могут
быть как позитивными, или дружественными (обычно отображаются
сплошными линиями), так и негативными, или враждебными (отображаются пунктирными линиями).

Социологи строят треугольники, подобные треугольнику слева, то
есть считая отношения между объектами позитивными, так как разумно
любить друзей ваших друзей. Точно так же треугольник справа, с двумя
негативными и одной позитивной связью, считается сбалансированным,
потому что такая комбинация не вызывает разногласий, даже несмотря
на две стороны с негативными связями, поскольку ничто так не цементирует дружбу, как ненависть к одному и тому же человеку.
Конечно, треугольники могут быть выведены из состояния баланса.
Это происходит в ситуации, когда есть три врага, причем двое из них
относятся друг к другу менее враждебно и готовы объединиться, чтобы
напасть на третьего.
Еще менее сбалансированным будет треугольник с единственной негативной связью. Например, предположим, что Кэрол хорошо относится и к Элис, и к Бобу, но Боб и Элис не любят друг друга. Возможно, они
когда-то встречались и пережили тяжелое расставание, и теперь говорят
друг о друге гадости лояльной к обоим Кэрол. Это создает психологическое напряжение между всеми тремя. Чтобы восстановить баланс, либо
Элис и Боб должны урегулировать свои отношения, либо Кэрол должна
принять чью-то сторону.

ВРАГ МОЕГО ВРАГА

29

Кэрол

Элис

Боб

Во всех этих случаях логика баланса соответствует логике умножения.
В сбалансированном треугольнике знак произведения двух любых сторон,
положительный или отрицательный, всегда совпадает со знаком третьей
стороны. В несбалансированном треугольнике это правило нарушается.
Не будем касаться вопросов о правдоподобии приведенных моделей,
ибо здесь возникают интересные вопросы с чисто математическим привкусом. Например, в связной сети, где все друг друга знают, какое самое
устойчивое состояние? Прежде всего это нирвана доброжелательности, где все отношения позитивные, а все треугольники в пределах сети
сбалансированы. Однако существуют и другие устойчивые состояния.
Например, устойчивое к конфликтам состояние, когда сеть раскололась на два враждебных лагеря (произвольных по величине и составу).
Все члены одного лагеря хорошо относятся друг к другу, но враждебны
к представителям другого лагеря. (Ничего не напоминает?) Возможно,
еще более удивительно то, что эти полярные состояния являются единственно возможными столь же устойчивыми состояниями, как нирвана7.
В частности, ни у какого трехстороннего раскола не может быть уравновешенных треугольников.
Ученые использовали этот метод для анализа союзов, сложившихся
при подготовке к Первой мировой войне8. Диаграммы, представленные
ниже, показывают союзы между основными державами, участвовавшими в ней: Великобританией, Францией, Россией, Италией, Германией
и Австро-Венгрией между 1872 и 1907 гг.

30

ЧИСЛА

GB

AH

Fr

GB

Ge

Ru

Fr

It

GB

Ge

Ru

It

Договор Антанта
1904 г.

It

Французско-российский союз
(1891–1894 гг.)

GB

Ge

Ru

Ge

Ru

AH

Fr

AH

Fr

It

Германо-российский
договор перестраховки 1890 г.

GB

It

Тройственный союз
1882 г.

AH

Fr

Ge

Ru

Союз трех императоров
(1872–1881 гг.)

GB

AH

AH

Fr

Ge

Ru

It

Британско-российское соглашение
1907 г.

ВРАГ МОЕГО ВРАГА

31

Первые пять конфигураций были несбалансированными, потому что
каждая из них содержала по крайней мере один несбалансированный
треугольник. Возникающие в результате разногласия подталкивали эти
страны к изменению конфигурации, тем самым вызывая реверберацию
в других частях сети. На последнем этапе Европа раскололась на два непримиримых антагонистских блока, придя к общему балансу, но оказавшись на грани войны.
Однако это не значит, что на основании данной теории можно делать прогнозы. Это не так. Подобный подход не позволяет объяснить
все тонкости изменений в геополитике. Но некоторые из наблюдаемых
нами явлений происходят в соответствии именно с примитивной логикой «враг моего врага» и отлично подпадают под умножение отрицательных чисел. Отделяя важное от незначительного, арифметика отрицательных чисел может помочь нам отыскать настоящие загадки.

Коммутативность: перемена мест
сомножителей

4

Приблизительно каждые десять лет появляются новые методы
преподавания математики, что лишний раз заставляет родителей почувствовать себя отставшими от жизни. Еще в 60-е годы прошлого века мои
родители были в шоке оттого, что не могли мне помочь выполнить простое домашнее задание — они никогда не слышали о троичной системе
счисления и диаграммах Эйлера-Венна.
Сегодня ситуация не изменилась. «Папа, ты можешь показать мне,
как делать эти примеры на умножение?» «Конечно могу», — самонадеянно заявил я, пока не довел дочь до истерики. «Нет, папа, сейчас это
делают не так! Это устаревший способ! Разве ты не знаешь умножения
методом решетки? Нет? Ну а как насчет частичных произведений?»
Эта унизительная ситуация побудила меня пересмотреть процесс
умножения с самого начала9. И оно, как только вы вникнете в него глубже, действительно оказывается очень тонкой вещью.
Возьмите, например, терминологию. Равно ли трижды семь сумме
трех по семь? Или сумме семи по три?
В некоторых культурах язык менее неоднозначен. Один мой друг из
Белиза привык читать таблицу умножения так: «Семь один раз — это
семь, семь дважды — четырнадцать, семь трижды — двадцать один»
и так далее. Такая формулировка позволяет понять, что первое число это множимое, а второе — множитель. Аналогичная игра слов есть

34

ЧИСЛА

и в бессмертных стихах песни Лайонела Ричи* «Она однажды, дважды, трижды леди». (Слова «Она леди три раза» никогда не стали бы
хитом.)
Может быть, вся эта суета вокруг семантики кажется вам глупой, так
как порядок, в котором числа перемножаются, не имеет никакого значения, то есть в любом случае 7 × 3 = 3 × 7. Хорошо, но тут напрашивается вопрос, на котором я хотел бы остановиться подробнее. Является ли
этот переместительный (коммутативный) закон умножения a × b = b × a
действительно таким очевидным? Помню, меня еще в детстве он удивил,
возможно, и вас тоже.
Чтобы привнести немного магии, представьте себе, что вы не знаете,
чему равно 7 × 3, и поэтому складываете семерки: 7, 14, 21. Теперь поменяйте местами сомножители и складывайте тройки, получается 3, 6,
9, ... . Чувствуете ли вы все нарастающее недоумение? До сих пор ни одно
из чисел в этих перечнях не совпало, но пройдем дальше ... 12, 15, 18,
и затем — ах! — 21.
Я хочу сказать, что если вы считаете, что умножение соответствует
многократному суммированию определенного числа (другими словами,
многократному сложению), то коммутативный закон не совсем понятен.
Но все проясняется, если представить умножение визуально. Допустим,
7 × 3 — это число точек в прямоугольной матрице с семью строками
и тремя столбцами.

Если поставить матрицу набок, она превращается в матрицу, состоящую из трех строк и семи столбцов. Поскольку сама картинка при
*

Американский исполнитель поп-музыки, снискавший мировую славу в 1980-х годах. Прим. ред.

КОММУТАТИВНОСТЬ: ПЕРЕМЕНА МЕСТ СОМНОЖИТЕЛЕЙ

35

вращении не изменяется (то есть количество точек сохраняется), то похоже на то, что действительно 7 × 3 = 3 × 7.

=

7×3

=

3×7

Тем не менее, как ни странно, во многих реальных ситуациях, особенно когда дело касается денег, люди, кажется, забывают о коммутативном
законе умножения. Позвольте привести два примера.
Предположим, вы собрались купить новые джинсы. Их продают со
скидкой 20% от цены 50 долларов, указанной на этикетке, что выглядит
заманчиво, но имейте в виду, что вам также придется заплатить 8% налога с продаж. После того как продавщица закончит нахваливать, как
великолепно джинсы на вас сидят, и начнет оформлять покупку, она сделает паузу и заговорщицки шепнет: «Позвольте мне сэкономить ваши
деньги. Я сначала посчитаю налог, а затем 20%-ную скидку от полученной суммы. Хорошо?»
Но что-то вас смущает. «Нет, спасибо, — говорите вы. — Не могли
бы вы сначала вычесть 20%-ную скидку, а затем снять налог с цены покупки? Тогда я заплачу меньше».
Какой способ более выгоден для вас? (Предположим, что оба законны.)
Столкнувшись с подобной задачей, многие решают ее последовательным суммированием. Они вычисляют налоги и скидки в соответствии
с заданным сценарием, а затем, чтобы определить окончательную цену,
выполняют необходимое сложение или вычитание.
Если вы согласитесь с продавцом, то налог составит 4 доллара (8%
от цены на этикетке). И цена джинсов увеличится до 54 долларов.
Тогда при 20%-ной скидке от 54 долларов возвращенная сумма будет

36

ЧИСЛА

равняться 10,80 доллара. Итак, в конечном счете вы заплатите 54 доллара минус 10,80 доллара, что в сумме даст 43,20 доллара.
В соответствии же с вашим сценарием сначала будет вычитаться 20%
скидки (на чем вы сэкономите 10 долларов от цены на этикетке). Тогда
8% налога на льготную цену в 40 долларов составят 3,20 доллара, так что
вы все равно в конечном итоге заплатите 43,20 доллара. Удивительно?!
Но это же просто коммутативный закон в действии. Чтобы это понять, необходимо думать в стиле последовательного умножения, а не последовательного сложения. 8% налога и последующая за ним 20%-ная
скидка вычисляются путем умножения цены на этикетке на 1,08 и последовательным умножением полученного результата на 0,80. Изменение
порядка вычисления налога или скидки просто меняет местами сомножители, но, поскольку выполняется равенство 1,08 × 0,80 = 0,80 × 1,08,
окончательная цена получается одинаковой10.
Соображения, подобные этим, возникают и при принятии решений о больших финансовых сделках. Лучше или хуже традиционного
пенсионного плана новый план недавно, принятый Конгрессом США
(закон Roth 401(k))11? И вообще, если у вас есть куча денег, которые вы
намерены инвестировать, но на них нужно платить налоги, то когда лучше это делать — в начале инвестиционного периода или в конце?
Повторяю еще раз: коммутативный закон показывает, что при всех
прочих равных условиях (которые, к сожалению, часто таковыми не являются) вы ничего не выигрываете. Если при обоих сценариях факторы
роста денег и размеры налога одинаковы, то не имеет никакого значения,
когда вам платить налоги — авансом или в конце периода.
Пожалуйста, не принимайте эти математические рассуждения за финансовый совет. Тем, кто сталкивается с решением подобных проблем,
нужно учитывать, что в реальной жизни все не так просто. После выхода
на пенсию вы предполагаете оказаться в верхней или нижней точке налоговой шкалы? Намерены ли вы полностью обнулить свой банковский
депозит? Как думаете, правительство изменит налоговую политику при
снятии денег со счетов к тому времени, когда вы соберетесь их взять, или
нет? Но хватит об этом. И не поймите меня неправильно, это все важно

КОММУТАТИВНОСТЬ: ПЕРЕМЕНА МЕСТ СОМНОЖИТЕЛЕЙ

37

и для меня, но здесь я пытаюсь сосредоточиться на более простых математических задачах и просто хочу показать, что коммутативный закон
имеет отношение к анализу таких решений.
Об этом ведутся горячие споры на различных финансовых сайтах
в интернете. Но даже после того как была показана актуальность коммутативных законов, некоторые блогеры с этим не согласились. Что, по
большому счету, противоречит здравому смыслу.
Возможно, мы запрограммированы не доверять коммутативному закону, потому что в повседневной жизни, как правило, имеет значение то,
что мы делаем в первую очередь. Нельзя одновременно брать кусок пирога и есть его. И снимать ботинки и носки тоже нужно в правильной
последовательности.
Физик Мюррей Гелл-Манн как-то в ходе тревожных размышлений
о своем будущем тоже пришел к аналогичному выводу. Закончив Йельский университет, он отчаянно хотел остаться в Лиге плюща*. К сожалению, в Принстон его не приняли. В Гарвард взяли, но без финансовой
помощи он протянул бы ноги. Лучшим из возможных вариантов оказался Массачусетский технологический институт (но он не входил в Лигу
плюща). В глазах амбициозного Гелл-Манна это учебное заведение было
не очень престижным. Тем не менее он принял предложение. Много лет
спустя он признался, что в тот момент подумывал о самоубийстве, но решил этого не делать, как только понял, что посещение Массачусетского
технологического института и самоубийство нельзя переставить (поменять местами)12. Он мог бы пойти учиться в Массачусетский технологический институт, а потом убить себя, но не наоборот.
Гелл-Манна, вероятно, впечатлила важность принципа коммутативности. Но в квантовой физике он бы обнаружил, что на самом глубинном уровне природа не подчиняется коммутативному закону. И это тоже

*

Лига плюща — группа самых престижных частных колледжей и университетов
на северо-востоке США, которые славятся высоким уровнем обучения и научных исследований. Название связано с тем, что по английской традиции стены
университетов – членов Лиги увиты плющом. Прим. ред.

38

ЧИСЛА

хорошо, поскольку благодаря нарушению коммутативного закона мир
таков, каков он есть. Именно поэтому материя является твердой и атомы не разрушаются.
Еще на заре появления квантовой механики13 Вернер Гейзенберг
и Поль Дирак обнаружили, что в природе p × q ≠ q × p, где p и q — импульс и координата квантовой частицы. Без этого нарушения коммутативного закона не было бы принципа неопределенности Гейзенберга,
атомы бы взорвались и ничего не существовало бы.
Вот почему вам лучше позаботиться о своих p и q. И наказать делать
это своим детям.

Деление и его проблемы

5

Через все повествование о числовых основах математики красной нитью проходит одна идея. Речь идет о создании (или поиске) все более
универсальных чисел.
Нам достаточно натуральных чисел 1, 2, 3 и т. д., если нужно что-то
сосчитать, сложить или перемножить. Но как только мы переходим к вычитанию, мы вынуждены создать новый вид числа — ноль, а также отрицательные числа. Эта расширенная вселенная чисел, называемых целыми, так же замкнута, как и натуральные числа, но она более мощная,
поскольку охватывает еще и результаты операции вычитания*.
Новый кризис наступает при попытке выполнить математическую
операцию деления. Деление целого числа без остатка не всегда возможно... если мы не расширим вселенную чисел еще раз, своевременно изобретя дроби. Дроби — это отношение целых чисел, следовательно, их
математическое название — рациональные числа. К сожалению, это то
место, где многие студенты бьются головой о математическую стенку.

* Математики говорят, что множество натуральных чисел замкнуто относительно
операций сложения и умножения, то есть результаты этих операций, совершенные над натуральными числами, тоже будут натуральными числами. Аналогично множество всех целых чисел замкнуто относительно операций сложения,
вычитания и умножения. Прим. ред.

40

ЧИСЛА

Есть много непонятных вещей, связанных с делением и его последствиями, но, пожалуй, больше всего выводит из себя существование множества различных способов, чтобы описать часть целого.
Разрезав торт, прослоенный шоколадом, ровно посередине на две
равные части, вы, скорее всего, скажете, что каждая часть равна половине
торта. Или можете выразить ту же идею дробью 1/2, что означает «1 из
2 равных частей». (Косая черта между 1 и 2 визуально напоминает, что
что-то разрезали.) Третий способ выражения — сказать, что каждая
часть составляет 50% от целого, что буквально означает «50 частей из
100». Всего этого было бы уже достаточно, но есть еще один вариант —
представить идею в десятичной системе счисления и описать каждую
часть как 0,5 от всего торта.
Такое обилие выбора, возможно, отчасти становится причиной недоумения, которое многие из нас испытывают, сталкиваясь с дробями,
процентами и десятичными дробями. Ярким примером этому служит
фильм «Моя левая нога» (My Left Foot), подлинная история мужественного ирландского писателя, художника и поэта Кристи Брауна. Он
родился в большой рабочей семье и страдал от церебрального паралича,
не мог говорить и контролировать свои конечности, кроме левой ноги.
В детстве его часто называли умственно отсталым, особенно отец, который злился на сына и жестоко с ним обращался.
В ключевой сцене фильма семья сидит за столом. Одна из старших сестер Кристи делает домашнее задание по математике, устроившись рядом
с отцом. Кристи, как обычно, сидит в углу комнаты, вертясь на кресле. Его
сестра нарушает тишину. «Что такое 25% от четверти?» — спрашивает
она. Отец обдумывает вопрос. «Двадцать пять процентов от четверти?
Ух-х-х... Дурацкий вопрос, а? В смысле 25% — это и есть четверть. Вы
не можете иметь четверть четверти». Сестра отвечает: «Можем. Кристи, разве у тебя не так?» Отец хмыкает: «Ха! Да что он знает?!»
Действительно, удел Кристи — пытаться захватить кусочек мела
пальцами левой ноги. Прижав мел к грифельной доске, которая лежит
на полу, мальчик сумел нацарапать каракуль, похожий на цифру 1, затем
косую черту и еще что-то непонятное. Это число 16, но задом наперед.

ДЕЛЕНИЕ И ЕГО ПРОБЛЕМЫ

41

Расстроенный, он стирает пяткой 6 и пробует снова, но на этот раз мел
движется слишком далеко, пересекая 6 и превращая ее во что-то невразумительное. «Это просто какие-то нервные загогулины», — ехидничает отец, отворачиваясь. Кристи закрывает глаза и откидывается, совершенно обессиленный14.
Кроме мощного драматического воздействия, эта сцена поражает
принципиальной жесткостью отца. Непонятно, почему он так убежден,
что нельзя иметь четверть четверти? Может быть, он думает, что четверть
можно взять только от целого или от чего-то, состоящего из четырех
равных частей. Но он не в состоянии понять, что все делится на четыре
равные части. В случае если объект уже является четвертью чего-то, его
четыре равные части будут выглядеть следующим образом:

Так как эти 16 тонких ломтиков составят целый объект, каждый ломтик, то есть 1/16 от целого, и является ответом, который Кристи пытался нацарапать.

42

ЧИСЛА

Другой случай такой же психической жесткости, но в современном мире
цифровых технологий, обошел несколько лет назад весь интернет. Обиженный клиент по имени Джордж Ваккаро записал и разместил в сети
свой телефонный разговор с двумя сотрудниками компании Verizon
Wireless. Ваккаро жаловался на то, что ему обещали взимать плату за использование данных в размере 0,002 цента за килобайт, но в полученном
счете он обнаружил, что с него взяли по тарифу 0,002 доллара за килобайт (в 100 раз больше). Последовавшая за этим беседа возглавила рейтинг лучших пятидесяти комедийных роликов в YouTube.15
Вот разговор, который происходит примерно в середине записи
между Ваккаро и Андреа, дежурным менеджером компании Verizon
Wireless:
В. Признаете ли вы, что есть разница между одним долларом и одним
центом?
А. Определенно.
В. Вы согласны, что между половиной доллара и половиной цента
тоже есть разница?
А. Конечно.
В. Тогда вы наверняка признаете и существование разницы между
0,002 доллара и 0,002 цента?
А. Нет
В. Нет?
А. Я имею в виду, есть разница... но нет 0,002 доллара.
Несколько мгновений спустя Андреа говорит: «Очевидно, что доллар можно представить как “одну десятую и ноль, ноль”, правильно?
Но, чтобы “ноль, запятая, ноль, ноль и два”, так?.. Я никогда не слышал
о 0,002 доллара. Это просто неполный цент».
Неумение преобразовывать доллары в центы — это только часть проблемы Андреа. Основная его беда в том, что он не способен представить
себе их части.

ДЕЛЕНИЕ И ЕГО ПРОБЛЕМЫ

43

Из личного опыта могу сказать, что так происходит из-за заблуждений
в отношении десятичных дробей. В восьмом классе мисс Стэнтон начала учить нас преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные. При
делении в столбик мы обнаружили, что некоторые дроби могут быть
представлены в виде десятичных, оканчивающихся нулями. Например,
1/4 = 0,2500... ее можно переписать как 0,25, поскольку все нули справа
не имеют значения. Другие дроби при преобразовании дают десятичные дроби с повторяющимися в конце цифрами, как, например (цифра
3 в периоде),
5/6 = 0,8333...
Моей любимой была дробь 1/7; в ней при преобразовании в десятичную дробь повторялись каждые шесть цифр (шесть цифр в периоде):
1/7 = 0,142857142857...
Недоумение возникло, когда мисс Стэнтон сказала, что если умножить на 3 обе части простого равенства
1/3 = 0,3333...,
то 1 должна равняться 0,9999...
Я возразил, что это неверно. Неважно, сколько девяток написала бы
она, я мог бы поставить столько же нулей после 1,0000... а затем, если
вычесть ее число из моего, всегда оставалась бы какая-нибудь маленькая
разность вроде 0,0000...0116.
Так же как отец Кристи и представитель Verizon, я не мог принять то,
что мне только что доказали. Я видел, что это правильный логичный вывод, но отказывался его принимать. (Это может напомнить вам кое-кого
из ваших знакомых.)

44

ЧИСЛА

Насколько бурно человек реагирует в подобной ситуации, зависит от его
нервной системы. Но вернемся снова в класс мисс Стэнтон. И все-таки,
почему же мы считали десятичными только периодические десятичные
дроби? Легко составить подходящий пример. Вот он:
0,12122122212222...
Последовательность подобрана так, чтобы ряд двоек в каждом периоде по мере продвижения вправо был длиннее. Такую дробь невозможно преобразовать в обыкновенную, то есть в отношение двух целых
чисел. Можно доказать, что обыкновенные дроби всегда преобразуются
в конечные или периодические десятичные дроби. А так как эта десятичная дробь не является ни периодической, ни конечной, то она не может
быть равна отношению некоторых целых чисел. Поэтому данное число
иррационально.
Учитывая, что показанное десятичное число подобрано специально,
можно было бы предположить, что такие числа встречаются крайне редко. Но на самом деле подобное число типично. В определенном смысле
можно сказать, что почти все десятичные числа — это иррациональные
числа17. А повторяющиеся цифры в их записи можно рассматривать как
статистически случайные.
Как только вы принимаете эти удивительные факты, все приходит
в хаос и беспорядок. Целые числа и обыкновенные дроби, столь любимые и знакомые, становятся редкими и экзотичными. Вы, конечно,
когда-нибудь и где-нибудь видели безобидную числовую ось. Но никто
и никогда не говорил вам, что хаос скрывается именно там!

Твердая позиция

6

Я проходил мимо статуи Эзры Корнелла* сотни раз, даже не взглянув
на покрытую зеленой патиной фигуру, но однажды остановился, чтобы
лучше рассмотреть ее.18

* Эзра Корнелл (англ. Ezra Cornell; 1807–1874) — американский бизнесмен, изобретатель, филантроп. Вместе с Эндрю Уайтом основал Корнелльский университет. Знаменит также тем, что был в числе учредителей и фактических руководителей всемирно известной компании Western Union, построившей первый
трансконтинентальный телеграф в Соединенных Штатах. Прим. ред.

46

ЧИСЛА

Эзра выходит на улицу, исполненный гордого достоинства, в длинном
пальто, жилете и сапогах. В правой руке он держит помятую широкополую шляпу и опирается на трость. Памятник производит впечатление
непритязательности и обезоруживающей прямоты, какой, судя по всему,
отличался в жизни и сам увековеченный в бронзе человек.
И именно поэтому так диссонируют с общим обликом памятника
даты жизни Эзры. Они высечены на постаменте напыщенными римскими цифрами:
EZRA CORNELL
MDCCCVII–MDCCCLXXIV
Почему бы просто не написать 1807–1874? Римские цифры выглядят
впечатляюще, но они трудно читаются и громоздки. У Эзры не хватило
бы терпения прочесть их.
Найти хороший способ представления чисел всегда было сложно.
Уже на заре цивилизации люди пробовали различные системы записи
чисел19 и проводили с их помощью подсчеты, будь то в торговле, измерении земельных наделов или пересчете скота в стаде.
Что объединяет почти все эти системы, так это то, что в них глубоко
укоренились особенности анатомического строения человека. Из-за капризов эволюции у нас по пять пальцев на каждой руке. Этот анатомический факт отражается в примитивной системе подсчета, например число
17 записывается в виде:

Здесь каждая вертикальная черточка в каждой группе заменяет палец. Может быть, косая черта изображала большой палец, лежащий
на остальных четырех пальцах, сжатых в кулак?

ТВЕРДАЯ ПОЗИЦИЯ

47

Римские цифры20 лишь немного сложнее, чем счет на пальцах. Вы можете определить след счета на пальцах в способе написания римлянами
чисел 2 и 3 как II и III. Косая черта находит отражение в форме римского
числа 5 как V. Но 4 — особый случай. Иногда цифра пишется как IIII,
хотя чаще как IV. Расположение в IV меньшего числа (I) слева от большего (V) означает, что вы должны вычесть I, вместо того чтобы прибавить,
как если бы она стояла справа. Таким образом, IV обозначает 4, в то время как VI — 6.
Вавилоняне21 не были настолько привязаны к своим пальцам. Их
система счисления основывалась на числе 60, в чем отразился их безупречный вкус, так как 60 — исключительно приятное число. Его красота внутренняя и не имеет ничего общего с человеческой анатомией22.
Шестьдесят — это наименьшее число, которое можно разделить нацело
(без остатка) на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. И это только начало (есть еще делители
10, 12, 15, 20 и 30). Из-за своей уникальной делимости число 60 куда
более приемлемо, чем 10, для любого вида расчетов или измерений, которые представляют собой деление на равные части. Когда мы делим час
на 60 минут, или минуту на 60 секунд, или полный круг на 360 градусов,
то питаемся идеями мудрецов Древнего Вавилона.
Но самое большое наследие вавилонян — это идея, которая сегодня
нам настолько привычна, что мало кто из нас может оценить всю ее тонкость и гениальность.
Чтобы проиллюстрировать эту идею, давайте рассмотрим привычную для нас индо-арабскую систему счисления, которая основана на той
же идее в ее современном воплощении. Вместо 60 она базируется на десяти символах: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и, что самое замечательное, 0. Они
называются цифрами, естественно, от латинского слова «пальцы»*.
Основное новшество в том, что, хотя эта система основана на числе 10, для него не зарезервировано никакого отдельного символа. Десять — это позиция цифр 1 и 0, их расположение, а не отдельный символ.
* Вообще-то от латинского «пальцы» слово «цифра» происходит в английском
языке, где слово digit обозначает как цифру, так и палец. В русском языке слово
«цифра» происходит от арабского ṣifr — пустой, ничего, нуль. Прим. ред.

48

ЧИСЛА

То же самое справедливо для чисел 100 или 1000 и любых других, производных от 10. Их особый статус определяется не каким-либо символом,
а местоположением составляющих их цифр. Такая система представления чисел называется позиционной системой счисления.
Здесь четко виден контраст между элегантной позиционной системой
и более грубым подходом, используемым в римских цифрах. Вы хотите
число десять? У нас есть 10. Это римское X. Аналогично получаем 100
(римское С) и 1000 (римское M). Также нетрудно получить десятичные
представления для римских семей пятерок: римское V — число 5, римское L — число 50 и римское D — число 500.
В системе римских цифр возвышаются только несколько избранных
чисел. Им дают собственную символику, а все остальные «второразрядные» числа представляются в виде их комбинаций.
К сожалению, римские цифры скрипели и стонали, когда сталкивались с чем-то бо2льшим, чем несколько тысяч. Чтобы обойти эту проблему, средневековые ученые (по-прежнему использовавшие римские
цифры) для определения чисел, которые в тысячу раз больше имеющихся, прибегали к наложению на уже существующие числа новых символов — верхней черты. Например, X
Ë означает десять тысяч, а M
Ë — тысячу
тысяч, или, другими словами, миллион. Умножение на миллиард (тысячу
миллионов) встречалось редко, но если бы оно вам когда-нибудь понадобилось, вы всегда смогли бы наложить на M
Ë еще одну черту. Похоже,
веселье с римскими числами никогда не прекращается.
Индо-арабская (позиционная) система счисления позволяет легко
и быстро написать любое число независимо от того, насколько оно велико. Причем представлено оно будет все теми же десятью цифрами, нужно просто поставить их в правильную позицию. Более того, обозначения
в арабской десятичной системе счисления очень короткие. Например,
любое число до одного миллиона можно отобразить шестью или меньшим количеством символов — цифр. Попробуйте сделать это словесно,
с помощью черточек или римскими цифрами.
Проще всего обычным людям научиться вычислениям с помощью
позиционной системы счисления. Для этого достаточно выучить две

ТВЕРДАЯ ПОЗИЦИЯ

49

таблицы — умножения и ее копию для сложения. И это все, что вам
когда-нибудь понадобится. Любые расчеты с любой парой чисел, независимо от того, насколько они большие, можно выполнять с применением этих таблиц.
Все вышесказанное звучит несколько механистически, но в этом
есть определенный смысл, поскольку с помощью позиционной системы
счисления можно запрограммировать вычислительную машину на выполнение любых арифметических действий. От первых механических
калькуляторов до сегодняшних современных суперкомпьютеров автоматизация арифметических вычислений стала возможной благодаря красивой идее определения значения числового разряда путем его местоположения.
Однако до сих пор невоспетым героем истории остается цифра ноль.
Без него все рухнет. Это символ-заполнитель, который позволяет нам отличать числа 1, 10 и 100 друг от друга.
Все позиционные системы счисления построены на некоем числе,
называемом основание системы. Наша привычная система счисления десятичная (от латинского корня decem, означающего «десять»), то есть
основана на числе 10. В ней после первого разряда, представляющего единицы, следующие разряды представляют десятки, сотни, тысячи
и т. д., каждый из которых является степенью 10:
10 = 101
100 = 10  10 = 102
1000 = 10  10  10 = 103.
Учитывая тот факт, что выбор числа 10 для системы счисления имеет
анатомическую, а не логическую основу, естественным было бы спросить,
а нет ли более эффективных систем счисления с другими основаниями?
Веские аргументы можно представить в пользу системы счисления
с основанием 2 — теперь уже повсеместно распространенной двоичной системы, используемой в компьютерах и всех электронных (цифровых) устройствах, начиная от мобильных телефонов и заканчивая

50

ЧИСЛА

видеокамерами. Из всех возможных систем счисления эта требует наименьшего количества символов (только два, 0 и 1). Это ее свойство прекрасно соотносится с логикой электронных переключателей или чего-то
еще, что может находиться в двух состояниях: включено или выключено,
открыто или закрыто.
Двоичная система нуждается в некотором пояснении. Вместо степеней 10 в ней используются степени 2. Две единицы по-прежнему занимают 1-й разряд, как и в десятичной системе, но следующие разряды
теперь занимают двойки, четверки и восьмерки, потому что
2 = 21
4 = 2  2 = 22
8 = 2  2  2 = 23.
Конечно, при записи числа в двоичной системе счисления мы не используем цифру 2, так же как и «цифру» 10 при записи чисел в десятичной системе счисления. В двоичной системе 2 записывается как 10 (один
и ноль), а это означает одну двойку и ноль единиц. Аналогично этому
4 можно записать как 100 (одна четверка, ноль двоек и ноль единиц),
а 8 — как 1000.
Последствия использования двоичной системы счисления выходят
далеко за пределы математики. Степень двойки изменила наш мир. В последние несколько десятилетий мы пришли к пониманию, что вся информация (а это не только числа, но и язык, и все изображения, и звуки)
может быть закодирована в виде последовательности нулей и единиц.
Что возвращает нас к памятнику Эзры Корнелла.
С задней стороны сооружения почти полностью скрыт от зрителя
телеграфный аппарат, скромно напоминающий о роли Эзры Корнелла
в создании Western Union — американской компании, сегодня специализирующейся на срочных денежных переводах, а некогда связавшей
воедино весь североамериканский континент.

ТВЕРДАЯ ПОЗИЦИЯ

51

В качестве плотника, превратившегося в предпринимателя, Корнелл
начал работать у Сэмюэля Морзе, чье имя живет в коде точек и тире,
благодаря чему английский язык сократился до щелчков телеграфного
ключа. Эти два события стали технологическими предшественниками
сегодняшних нулей и единиц.

52

ЧИСЛА

Морзе поручил Корнеллу построить первую правительственную телеграфную линию от Балтимора до Капитолия в Вашингтоне. Он, повидимому, с самого начала предчувствовал, что принесут ему точки
и тире. Когда 24 мая 1844 года линия была официально открыта, Морзе
отправил по ней первое сообщение: «Чудны дела Твои, Господи!»

Ч а с т ь II

СООТНОШЕНИЯ

Получая радость от х

7

Итак, пора переходить от арифметики начальной школы к математике
средних классов. На протяжении следующих десяти глав мы будем повторять алгебру, геометрию и тригонометрию. Не волнуйтесь, если вы
их забыли, — на этот раз не будет никаких экзаменов. Вместо того чтобы
беспокоиться о формальной стороне изучения алгебры и геометрии, позволим себе сосредоточиться на самых красивых, важных и далеко идущих идеях этих разделов математики. Например, алгебра может поразить
вас головокружительным сочетанием символов, определений и методов,
но, в конце концов, все это сведется лишь к двум вещам: нахождению
решений x и работе с уравнениями.
Первое похоже на работу детектива. Вы ищете неизвестное число х,
при этом вам дается несколько подсказок либо в виде уравнения наподобие 2x + 3 = 7, либо, что менее удобно, в виде запутанного словесного
портрета x, то есть словесного описания задачи. В любом случае ваша
цель — найти на основании полученных данных значение х.
Напротив, работа с уравнениями представляет собой смесь искусства
и науки. Вместо того чтобы остановиться на конкретном значении х, вы
подтасовываете и уплотняете соотношения, которые по-прежнему содержат изменяющиеся числа; они называются переменными и как раз
и являются тем, что действительно отличает алгебру от арифметики.
А уравнения, если можно так выразиться, — просто изящные модели

56

СООТНОШЕНИЯ

самих чисел. Именно в них алгебра сродни искусству. Можно также сказать, что формулы выражают соотношения между числами в реальном
мире, как это происходит в законах движения свободно падающих тел
и характеристиках планетарных орбит либо у частот генотипов в популяции. Вот здесь алгебра сродни науке.
Такое определение двух основных функций алгебры не считается общепринятым (оно придумано мной и, как мне кажется, довольно правдиво). В следующей главе я больше расскажу о поиске решений x, а пока,
чтобы пояснить мою мысль, сосредоточимся на уравнениях и формулах.
Начнем с пары простых примеров.
Несколько лет назад моя дочь Джо поняла зависимость между числами, выражающими ее возраст и возраст ее старшей сестры Лии23. Она
мне сказала: «Папа, смотри, всегда есть число между моим возрастом
и возрастом Лии. Вот сейчас мне шесть лет, а Лии восемь, а семь находится посередине. И даже когда мы станем старше — мне исполнится двадцать, а ей двадцать два года, — посередине по-прежнему будет число!»
Рассуждения Джо — пример алгебраического подхода (хотя никто,
кроме гордого отца, возможно, этого и не видит). Она подметила соотношение между двумя постоянно меняющимися переменными: своим
возрастом, x, и возрастом Лии — y. Лия всегда будет на два года старше
сестры: y = x + 2.
На языке алгебры такие задачи формулировать естественнее всего.
Но потребуется небольшая практика, чтобы хорошо разобраться в этой
науке, потому что существуют, как говорят французы, faux amis, то есть
ложные друзья: пары слов, звучащие похоже и вроде бы означающие одно
и то же, но на самом деле имеющие совершенно различные значения.
Предположим, что длина коридора равна y, если ее измерять в ярдах,
и f, если мы ее измерим в футах. Составьте уравнение, описывающее отношение между y и f.
Мой друг Грант Виггинс, эксперт по вопросам образования, уже
много лет предлагает такое задание студентам и университетским преподавателям. Основываясь на своем опыте, он утверждает, что студенты

ПОЛУЧАЯ РАДОСТЬ ОТ Х

57

более чем в половине случаев выполняют его неправильно, даже если совсем недавно прошли и успешно сдали курс алгебры.
Если вы тоже думаете, что ответ — y = 3f, добро пожаловать в клуб
неудачников.
Эта формула похожа на «дословный перевод» утверждения «Один
ярд равняется трем футам» на язык алгебры. Но как только вы попробуете подставить в уравнение несколько чисел, то сразу увидите, что в нем
все перевернуто с ног на голову. Скажем, коридор имеет длину 10 ярдов, то есть 30 футов. Тогда при y = 10 ярдам, понятно, что f = 30 футам,
и тождество становится неверным.
Верное уравнение: f = 3y. И здесь 3 действительно означает, что
в одном ярде 3 фута (то есть имеет размерность фут/ярд). Когда вы умножите 3 на переменную y в ярдах, то ярды в уравнении сократятся, и у вас
останутся, как и должно быть, футы.
Проверка правильности формулы с помощью сокращения единиц
измерения помогает избежать грубой ошибки такого типа. Например,
она могла бы спасти сотрудников отдела обслуживания клиентов компании Verizon (см. пример в главе 5) от путаницы между долларами
и центами.
Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы
работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один,
который поразил физика Ричарда Фейнмана*, хотя он сам неплохо считал устно.

* Ричард Фейнман (1918–1988) — выдающийся американский ученый, основные
открытия сделал в области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной
бомбы в Лос-Аламосе. Прим. перев.

58

СООТНОШЕНИЯ

Работая в Лос-Аламосе24, я убедился, что Ганс Бете* превосходно
считает. Как-то раз мы подставляли числа в формулу и добрались
до квадрата 48, я уже было потянулся за калькулятором, и тут Ганс
сказал:
— Это будет равняться 2300.
Я стал нажимать кнопки, а он продолжил:
— Если вам нужен точный ответ, то 2304.
Калькулятор тоже выдал 2304.
— Ну и дела! Это впечатляет! — воскликнул я.
— Разве вы не знаете, как возвести в квадрат числа, не превышающие 50? — удивился он. — Возводите в квадрат 50 — равно
2500 — и вычитаете 100 раз разность между 50 и вашим числом
(в данном случае это 2), так у вас выйдет 2300. Если хотите иметь
точное значение, то к этому числу прибавьте квадрат разности.
Выйдет 2304.
Трюк Бете основан на тождестве (50 + х)2 = 2500 + 100x + х2. Он
запомнил его и применил при х = –2, так как 48 = 50 – 2. Для интуитивного доказательства этой формулы представьте себе квадратный кусочек
ковра со стороной 50 + х.

50

x

50

2500

50x

x

50x

x2

Его площадь, равная (50 + х) в квадрате, и есть наше искомое. Однако на диаграмме видно, что эта область состоит из квадрата 50 × 50
* Ганс Бете (1906–2005) — американский астрофизик, лауреат Нобелевской премии по физике. В 1943–1945 гг. входил в число разработчиков атомной бомбы
в Лос-Аламосе. Прим. перев.

ПОЛУЧАЯ РАДОСТЬ ОТ Х

59

(в формуле это равно 2500), двух прямоугольников размером 50, умноженное на x, (площадь каждого по 50x; всего 100х), и, наконец, x, умноженное на x, что равно площади х в квадрате.
Такие тождества полезны не только для физиков-теоретиков. Еще
одно тождество, подобное тождеству Бете, имеет отношение к любому,
кто вкладывает деньги в фондовый рынок25. Предположим, ваши акции
катастрофически упали на 50% в одном году, а затем, в следующем, поднялись на 50%. Даже при такой высокой прибыли их стоимость уменьшилась на 25%. Чтобы в этом убедиться, обратите внимание на то, что
при подсчете 50% потерь вы умножаете свои деньги на 0,50, а при вычислении 50% прибыли — на 1,50. Если производить эти вычисления
одно за другим, то ваши деньги нужно умножить на 0,50 и на 1,50, что
составляет 0,75. Другими словами, 25% потерь.
На самом деле вам никогда не вернуться к первоначальной сумме,
даже если вы несколько лет подряд будете иметь то потери, то прибыль
на одинаковый процент. Алгебра поможет нам понять, почему так происходит. Это следует из тождества
(1 – х) (1 + х) = 1 – x2.
В одном году стоимость портфеля акций уменьшалась на коэффициент 1 – x (в примере x = 0,50), а в следующем году увеличивалась на
коэффициент 1 + x. Таким образом, абсолютное изменение можно представить в виде выражения (1 – х)(1 + х), в соответствии с формулой, приведенной выше, оно равно 1 – x2.
Дело в том, что это выражение для любого х, отличного от 0, всегда
меньше 1. Следовательно, вы никогда полностью не компенсируете своих потерь.
Само собой разумеется, что не все соотношения между переменными так же просты, как рассмотренные нами. Тем не менее привлекательность алгебры соблазнительна, а в наивных руках она создает
такие глупости, как формулу для социально приемлемой разницы
в возрасте партнеров, находящихся в романтических отношениях26.

60

СООТНОШЕНИЯ

На некоторых сайтах в интернете сказано: если ваш возраст х, то светское общество не одобрит вашу связь с партнером, если его возраст
меньше чем х/2 + 7 лет.
Иными словами, если 82-летний мужчина встречается с 48-летней
женщиной, даже если она не замужем, это достойно осуждения. А если
ему только 81? Тогда ничего страшного!

В поиске своих корней

8

Более 2500 лет математики мучились над решениями уравнений относительно х. Путь поиска решений27, то есть нахождения корней этих
уравнений, для все более и более сложных уравнений стал одним из великих эпосов в истории человеческой мысли.
Одна из первых подобных задач поставила в тупик граждан Делоса*
примерно в 430 году до н. э. Отчаявшись предотвратить распространение чумы, они, по совету Дельфийского оракула, вознамерились увеличить объем кубического алтаря бога Аполлона в 2 раза. К сожалению,
оказалось, что удвоение объема куба28 требует знания и умения извлекать кубический корень из 2. Посредством того ограниченного арсенала геометрических инструментов, который имелся в то время у греков
(циркуль и линейка), решить эту задачу было невозможно.
Более поздние исследования подобных задач выявили еще одну неизбежно возникающую раздражающую мелочь: в процессе решения уравнений очень часто приходилось извлекать квадратные корни из отрицательных чисел29. Над этим еще довольно долго смеялись, как над чем-то
ложным и софистическим.
Математики почти до 1700-х годов отрицали возможность извлекать
квадратные корни из отрицательных чисел, поскольку те не могли быть
положительными числами, так как положительное число, умноженное на
* Делос — остров в Эгейском море. Прим. ред.

62

СООТНОШЕНИЯ

положительное, всегда дает положительное. А мы ищем числа, квадраты
которых отрицательные. Они не могли быть и отрицательными числами,
так как отрицательное число, умноженное на отрицательное, опять же
дает положительное. Казалось, не было никакой надежды на получение
числа, которое при умножении на себя даст отрицательное число.
Здесь мы опять наблюдаем очередной кризис. Они неизменно возникают в математике в случае, когда уже существующие операции пытаются применять в числовых областях, где применить их уже нельзя. Так,
вычитание бо2льших чисел из меньших породило отрицательные числа
(см. главу 3), а деление породило дроби (см. главу 5), необходимость извлекать квадратные корни в конечном итоге вынудила вновь расширить
вселенную чисел.
Исторически так сложилось, что этот шаг был самым болезненным.
Квадратный корень из –1 до сих пор носит унизительное название
«мнимый».
Этот новый вид чисел (или, если вы предпочитаете быть агностиками, называйте их символами, а не числами) определяется таким свойством, что
i2 = –1.
То, что i нельзя найти на числовой оси, действительно правда. В этом
отношении i гораздо более необычно, чем ноль, отрицательные числа,
дроби и даже иррациональные числа, но, как ни странно, у всех мнимых
чисел есть место на числовой оси. И при достаточном воображении
наш ум может его отыскать и для i тоже. Оно «живет» на собственной
мнимой оси, расположенной под прямым углом к основной. И, наложив
мнимую ось на ось реальную числовую, вы создадите 2D-пространство,
то есть двумерную плоскость, где обитают воображаемые числа.
Это комплексные числа. Но их комплексность означает не сложность,
а то, что два типа чисел, действительных и мнимых, скреплены вместе
и образуют сложное, гибридное число, например 2 + 3i.

В ПОИСКЕ СВОИХ КОРНЕЙ

63
мнимая
числовая ось
2 + 3i

3i
2i
i
-3 -2 -1
-i

1

2

действительная
числовая ось

3

-2i
-3i

Комплексные числа — это сверкающая вершина всей системы чисел. Они радуют теми же свойствами, что и реальные числа. Их можно
складывать и вычитать, умножать и делить, но они лучше реальных чисел, потому что из них всегда можно извлечь корни. Вы можете извлечь
из комплексного числа квадратный корень, корень третьей степени или
вообще корень любой степени, а в результате все равно получится комплексное число.
И напоследок грандиозное утверждение, называемое основной теоремой алгебры. В нем говорится, что корни любого многочлена — всегда комплексные числа. В этом смысле они завершают поиски святого
Грааля. Вселенная чисел больше не должна расширяться. Комплексные
числа — кульминация путешествия, которое началось с единицы.
Вы можете оценить полезность комплексных чисел (то есть почувствовать их правдоподобие), если знаете, как их визуализировать. Ключом к визуализации станет понимание того, что такое умножение на i.
Предположим, мы умножаем произвольное положительное число, скажем 3, на i. Результатом будет мнимое число 3i.
умн
ож

3i

-3i

2

i

1

-3

до

ь на
ит

i

после

2i

3

real
numbers

64

СООТНОШЕНИЯ

еще р
аз

на i
ем
жа

3i

умн

ож

на i
ие
ен

ум
но

Таким образом, умножение на i представляет собой вращение против
часовой стрелки на четверть оборота. До умножения на i число 3 обозначается стрелкой длиною 3, направленной на восток, результатом умножения на i будет стрелка такой же длины, но направленная на север.
Инженеры-электротехники любят комплексные числа именно по
этой причине. Иметь такой компактный способ представления вращения на 90° при работе с переменным током, напряжением или электрическими и магнитными полями очень удобно, потому что они часто связаны с колебаниями или волнами, которые составляют четверть цикла
(то есть представляют сдвиг фазы на 90°).
Действительно, комплексные числа необходимы всем инженерам.
В авиационно-космической промышленности они облегчили расчеты
подъема крыла самолета. Инженеры-строители и инженеры-механики
регулярно используют их для анализа вибрации элементов пешеходных
мостов, небоскребов и автомобилей на ухабистой дороге.
Поворот на 90° также проливает свет на то, что на самом деле означает i2 = –1. Если мы умножим положительное число на i2, то стрелка,
равная длине положительного числа, повернется на 180° в направлении
с востока на запад, так как производится два поворота на 90° (по одному
для каждой степени i), в итоге — на 180°.

до

после

-3

3

-3i

Но умножение на –1 делает такое же сальто на 180°. Вот поэтому
i = –1.
2

В ПОИСКЕ СВОИХ КОРНЕЙ

65

Компьютеры вдохнули новую жизнь в комплексные числа и вековую
проблему извлечения корней. Когда ПК не используются нами для вебсерфинга или отправки и получения электронной почты, они на наших
столах способны обнаружить такое, что древние и представить себе не
могли.
В 1976 году мой коллега по Корнуолльскому университету Джон
Хаббард попытался применить в задачах по динамике метод Ньютона30,
мощный алгоритм для поиска корней уравнений в комплексной плоскости. В соответствии с этим методом выбирается начальное значение
(близкое к значению корня) и неоднократно производятся определенные вычисления. При этом на каждом последующем шаге используется значение, полученное на предыдущем. Этот метод позволяет быстро
приблизиться к корням уравнения.
Хаббард заинтересовался множественными корнями. Какой из множественных корней можно найти методом Ньютона? Хаббард доказал,
что из двух корней всегда будет найден тот, который наиболее близок
к начальному значению. Однако при наличии трех и более корней его
предыдущее доказательство не сработало.
Тогда Хаббард провел так называемый численный эксперимент. Он
запрограммировал компьютер на выполнение метода Ньютона, настроив устройство так, чтобы оно маркировало цветом миллионы различных начальных значений в соответствии с тем, к какому корню они приближались, и меняло интенсивность цвета в зависимости от скорости их
приближения к корню.
До того как Хаббард увидел результат, он предполагал, что к корням
уравнения быстрее всего притянутся наиболее близкие к ним по значению, и это отобразится в виде ярких точек на сплошном цветовом пятне.
Но вот границы между пятнами? О них он даже не думал.
Компьютер выдал неожиданный результат.

66

СООТНОШЕНИЯ

Пограничная область между пятнами напоминала психоделические галлюцинации31. Цвета в ней смешивались беспорядочно, соприкасаясь
друг с другом в невероятно большом количестве точек. Они всегда располагались в трех направлениях. Другими словами, где бы ни появлялись два цвета, между ними всегда присутствовал третий.
Расширение границ выявило наличие пятен внутри пятна.

В ПОИСКЕ СВОИХ КОРНЕЙ

67

Структура была фрактальной32 — сложной формы, внутренняя структура которой повторялась во все более мелких масштабах.
Кроме того, вблизи границы царил хаос. Две точки могли вначале находиться очень близко друг к другу, какое-то время попрыгать рядышком, а потом разойтись к разным корням. Выбранный корень был так
же непредсказуем, как выигрышные числа при игре в рулетку. Мелочи,
крошечные, незаметные изменения в начальных условиях могли полностью изменить всю картину.
Работа Хаббарда была одной из первых вылазок в область науки, ныне
называемой комплексная динамика, — потрясающее сочетание теории
хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В некотором
смысле это позволило геометрии вернуться к своим корням. В 600 году
до Рождества Христова руководство для строителей храма в Индии33,
написанное на санскрите, давало подробные инструкции, как при проектировании ритуальных алтарей вычислять квадратные корни. Спустя
свыше 2500 лет математики все еще ищут корни, но в настоящее время
инструкции пишутся в двоичном коде.

Ванна моя преисполнена*

9

Дядюшка Ирв был братом моего отца и его компаньоном. Они владели обувным магазином в нашем городе. Так вот, он хорошо разбирался в практической стороне вещей и по большей части находился наверху в своем кабинете, потому что лучше управлялся с цифрами, чем
с клиентами.
Когда мне было лет десять или одиннадцать лет, дядя Ирв задал мне
мою первую арифметическую задачу34. Этот день навсегда врезался мне
в память, вероятно, потому, что я ошибся и чувствовал смущение.
В условии задачи говорилось о заполнении ванны водой35. Если
включить кран с холодной водой, то ванна наполнится за полчаса, а если
с горячей — то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить
ванну, когда включены оба крана?
Я уверенно, вероятно, как и многие из вас, ответил: «Сорок пять минут». Дядюшка Ирв покачал головой и усмехнулся. И своим высоким
гнусавым голосом он преподал мне урок.
«Стивен, — обратился ко мне он, — скажи, сколько воды будет в ванне через минуту». Холодная вода заполняет ванну за 30 минут, так что за
одну минуту она заполнит 1 ее часть. Но горячая вода льется медленнее
30
*

* В названии автор перефразирует известную фразу из Библии, Псалтырь (22:5)
«Ты приготовил предо мною трапезу в виду врагов моих; умастил елеем голову
мою; чаша моя преисполнена» (англ. My Сup Runneth Over); оригинальное название главы My Tub Runneth Over. Прим. перев.

70

СООТНОШЕНИЯ

и наполнит ванну через 60 минут, то есть за минуту она заполнит только
1
часть ванны. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она запол60
няет 1 + 1 ванны за минуту.
30 60

H
C

Чтобы сложить эти дроби, обратите внимание, что наименьший общий знаменатель равен 60. Преобразовав 1 в 2 , получаем
30 60
1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 1 .
30 60 60 60 60 20
1
Это означает, что вода из двух кранов за минуту заполнила
ванны.
20
Следовательно, ванна наполнится через двадцать минут.
С тех пор на протяжении многих лет я неоднократно вспоминал о той
ванне, причем всегда с любовью к дядюшке Ирву и самой задаче. Мне
преподали урок, как просто ради удовольствия решать задачи, основываясь на интуиции, и как найти приближенное решение, если сложно
отыскать точное.
Рассмотрим мое первоначальное предположение — 45 минут —
и, решив задачу интуитивно (в соответствии со здравым смыслом),
поймем, что этот ответ не может быть правильным. Действительно, он
абсурден. Чтобы понять почему, предположим, что горячая вода отключена, тогда холодная вода заполнит ванну за 30 минут. Поэтому какой бы

ВАННА МОЯ ПРЕИСПОЛНЕНА

71

дядюшка Ирв ни задал вопрос, ответ должен быть «меньше 30 минут»;
если в ванну льется не только холодная, но и горячая вода, то ванна заполнится быстрее.
Правда, этот вывод не столь убедителен, как ответ «20 минут», который мы получили методом, предложенным дядюшкой Ирвом, зато он не
требует никаких расчетов.
Другой способ упростить задачу — предположить, что вода из обоих
кранов течет с одинаковой скоростью. Причем ванна при одном открытом кране заполняется за 30 минут. Тогда очевидно, что она наполнится
за 15 минут, так как каждый кран выполнит половину работы.
Отсюда сразу становится ясно, что, по расчетам дядюшки Ирва, наполнение ванны должно занимать больше пятнадцати минут. Почему?
Потому что «быстрый + быстрый» побьет «медленный + быстрый».
Наша условно симметричная задача имеет два быстрых крана, в то время как у дядюшки Ирва один медленный и один быстрый. А поскольку
15 минут — ответ задачи для двух быстрых кранов, то ванна дядюшки
Ирва будет наполняться дольше.
Получается, что благодаря рассмотрению двух гипотетических случаев — в первом ванна заполняется только холодной, так как горячая
отключена, а во втором — горячей и холодной с одинаковой скоростью, — мы узнали, что ответ лежит в пределах 15–30 минут. В более
сложных задачах, где порой невозможно найти точный ответ, и не только в математике, но и в других областях, такой подход может очень пригодиться.
Даже если вы все-таки найдете точное решение, не стоит самоуспокаиваться. Данную задачу можно решать более простыми способами. Это
единственное место, где математика дает простор творчеству. Например,
помимо метода дядюшки Ирва (с помощью обыкновенных дробей, приведенных к общему знаменателю), есть более забавный маршрут, приводящий к тому же результату. Несколько лет спустя, когда я попытался определить, почему эта задача настолько запутанна, до меня дошло,
что в первую очередь из-за разных скоростей кранов. Необходимость

72

СООТНОШЕНИЯ

следить, каков вклад каждого крана в наполнение ванны, вызывает напряжение. Особенно если вы можете представить такую картину: горячая и холодная вода плещется из кранов, перемешиваясь в ванне.
Так что давайте не смешивать два вида воды, по крайней мере в нашей
голове. Вместо одной ванны представим себе две разные конвейерные
ленты с движущимися ваннами с отдельными кранами с горячей и холодной водой.

C

H

Из каждого крана наполняется одна ванна — перемешивание не допускается. И как только одна ванна наполняется, она движется далее по
конвейеру, уступая место следующей.
Теперь все становится понятным. За один час кран с горячей водой
наполняет одну ванну, за это же время кран с холодной водой заполняет
две ванны (так как на одну требуется полчаса). Это составляет три ванны
в час или одну ванну каждые двадцать минут. Эврика!

ВАННА МОЯ ПРЕИСПОЛНЕНА

73

Так почему же столько людей, в том числе и я, грубо ошибаются, отвечая
«45 минут»? Почему так заманчиво разделить пополам сумму тридцати
и шестидесяти минут? Я не уверен, но, кажется, из-за ошибочного понимания условия задачи. Может быть, задача с заполнением ванны в сознании наложилась на другие задачи, где нахождение разности имело бы
смысл. Моя жена объяснила мне это с помощью аналогии: «Представь
себе, что ты помогаешь пожилой даме перейти улицу. Без твоей помощи
это займет у нее 60 секунд, ты бы перебежал дорогу за тридцать. Сколько времени вы будете ее переходить, если ты будешь держать даму под
руку?» Теперь ясна логика людей, которые говорят о сорока пяти секундах, потому что, когда пожилая дама цепляется за ваш локоть, она замедляет ваше движение, а вы ускоряете ее.
Отличие от задачи с ванной здесь в том, что и вы, и пожилая дама воздействуете на скорость движения друг друга, чего не происходит с кранами. Они независимы. По-видимому, наше подсознание не распознает
это различие, по крайней мере, когда мы жадно хватаемся за неправильный вывод.
Нет худа без добра. Даже неправильные ответы могут быть полезны — если вы осознаете, что они неправильные. Они разоблачают ошибочные аналогии и другие погрешности мышления и помогают облечь
суть проблемы в более понятную форму.
Классические занимательные арифметические задачи специально
сформулированы таким образом, чтобы так же ловко, как это делает фокусник, обмануть свою жертву, то есть вас. Само условие задачи содержит подвох. Если вы ответите инстинктивно, то, вероятно, попадетесь
на эту удочку.
Вот пример такого типа задачи. Предположим, трое мужчин могут
покрасить три забора за три часа. Сколько времени потребуется, чтобы
один человек покрасил один забор?
Очень заманчиво ляпнуть: «Один час». Сама формулировка подталкивает вас к этому. Барабанный ритм первого предложения — трое мужчин, три забора, три часа — настраивает ваше внимание на определенную

74

СООТНОШЕНИЯ

волну, поэтому когда в вопросе в таком же ритме повторяется: один человек, один забор, то ответу «один час» трудно сопротивляться. Эти
параллельные конструкции психологически настраивают на ответ, который правилен лингвистически, но математически неверен.
Правильный ответ: три часа.
Если вы визуализируете задачу, мысленно представив троих мужчин,
три забора и уже покрашенные через три часа заборы, то ответ становится очевидным. Чтобы через три часа покрасить все три забора, каждый
человек должен красить свой забор в течение трех часов.

Отвлекаясь от рассуждений, скажу, что такие задачи считаются наиболее ценными среди текстовых задач. Они тренируют наше внимание,
заставляя остановиться и посмотреть на задачу с совершенно неожиданной стороны.
Возможно, еще важнее то, что текстовые задачи учат нас думать не
только о количестве, но и о соотношениях между числами, выражающими количества. Например, как скорость вытекания воды из кранов
влияет на время, необходимое для заполнения ванны. И это следующий
важный шаг в математическом образовании человека. Понятно, что
для многих это сложно, так как соотношения — нечто более абстрактное, чем просто числа. Но они также представляют собой более мощный инструмент познания окружающего мира, поскольку отражают его
внутреннюю логику. Причина и следствие, спрос и предложение, вход
и выход, воздействие и отдача — все они связаны между собой парами

ВАННА МОЯ ПРЕИСПОЛНЕНА

75

чисел и соотношениями между ними. Текстовые задачи вырабатывают
у нас образ мышления, который интенсивно использует различные соотношения.
Тем не менее Кит Девлин в своем эссе «Проблемы с текстовыми задачами» (The problem with word problems) высказывает о них интересные критические замечания. С его точки зрения, проблема в том, что при
решении таких задач считается, что вы понимаете правила игры и соглашаетесь с ними, хотя часто они искусственные, а иногда и вообще нелепые. Например, в нашей задаче о трех мужчинах и трех заборах, которые они красят в течение трех часов, подразумевается, что, во-первых, все
трое красят с одинаковой скоростью и, во-вторых, красят непрерывно,
не снижая и не повышая темпа работы.
Оба допущения нереальны. Предполагается, что вы игнорируете
все это, иначе задача оказалась бы слишком сложной и у вас не было бы
достаточно данных для ее решения. Вы должны были бы точно знать,
сколько раз каждый маляр замедлял работу и насколько он устал на третьем часу, как часто останавливался, чтобы перекусить, и т. п.
Преподаватели математики должны быть готовы к тому, что текстовые задачи заставляют нас делать упрощающие предположения. Этот
ценный навык называется математическим моделированием. Ученые используют его всегда, когда применяют математику к явлениям реального
мира. Но они, в отличие от авторов большинства текстовых задач, как
правило, заранее сообщают о своих допущениях.
Итак, спасибо дядюшке Ирву за первый урок. Незабываемый? Да.
Унизительный? Да, но — в хорошем смысле.

Игра с квадратами

10

Формула для вычисления корней квадратного уравнения — это Родни
Дэнджерфилд* алгебры. И, будучи одной из формул всех времен и народов, она не заслужила никакого уважения. Даже профессионалы не особо ее жалуют. Когда математиков и физиков просят составить десятку самых красивых или важных уравнений36 всех времен, квадратное уравнение никогда не проходит отбор. Да, конечно, все восторгаются 1 + 1 = 2,
E = mc2 и элегантной маленькой теоремой Пифагора, которая важничает
просто потому, что она вот такая: a2 + b2 = c2. Но квадратное уравнение?
Конечно же нет.
По общему признанию, формула для вычисления корней квадратного уравнения некрасива. Некоторые студенты начинают робко выяснять
у нее результат, произнося как ритуальное заклинание: «х равен минус b
плюс-минус квадратный корень из b квадрат минус четыре ac, деленное
на два a». Другие сделаны из более прочного материала и смотрят формуле прямо в лицо, бесстрашно сопротивляясь пугающей смеси из букв
и символов:
x=

–b ± √b2 – 4ac
.
2a

* Родни Дэнджерфилд (1921–2004) — популярный американский комедийный актер. Сниматься стал поздно. Известен благодаря фильмам «Гольф-клуб» (1980),
«Легкие деньги» (1983) и «Снова в школу» (1986). Прим. перев.

78

СООТНОШЕНИЯ

И только когда вы осознаете, на что способна эта формула, вы начинаете ценить ее внутреннюю красоту. Надеюсь, эта глава поможет вам совладать с кажущимся сумбуром символов, а также позволит понять, что
означает уравнение и откуда оно берется.
Во многих ситуациях мы хотели бы выяснить значение некоего неизвестного числа. Какую дозу лучевой терапии следует применить, чтобы
уменьшить опухоль щитовидной железы? Сколько денег вам придется
платить ежемесячно, чтобы покрыть тридцатилетний ипотечный кредит
в размере 200 тысяч долларов при фиксированной годовой процентной
ставке, равной 5%? С какой скоростью должны лететь ракеты, чтобы
преодолеть притяжение Земли?
В алгебре мы уже получили первый опыт решения простейших задач
такого типа. Эти решения были разработаны исламскими математиками
около 800 года нашей эры и основывались на более ранних исследованиях египетских, вавилонских, греческих и индийских ученых. Импульсом
для их разработки послужили сложности при расчете размера наследства37 по канонам исламского права.
Например, предположим, что умирает вдовец и оставляет все свое
имущество (10 дирхемов) дочери и двум сыновьям. Согласно законам
ислама, сыновья должны получить равные доли, причем каждому сыну
положена сумма вдвое бо2льшая, чем дочери. Сколько дирхемов причитается каждому из наследников?
Давайте используем букву х для обозначения суммы наследства дочери. Пока нам неизвестно значение х, мы можем рассуждать о нем как
об обычном числе. В частности, мы знаем, что каждый сын получит в два
раза больше, чем дочь, то есть по 2x. Таким образом, общее наследство
равно x + 2x + 2x, всего 5x, и эта сумма должна равняться общей стоимости наследственного имущества в 10 дирхемов. Следовательно, 5x = 10
дирхемов. Наконец, разделив обе части уравнения на 5, мы видим, что х
= 2 дирхема (это доля дочери). Поскольку каждый из сыновей наследует
2x, то им причитается по 4 дирхема.
Обратите внимание, что в этой задаче появилось два типа чисел: известные — 2, 5 и 10 и неизвестные, такие как х. Как только мы смогли вывести

ИГРА С КВАДРАТАМИ

79

соотношение между ними (воплощенное в уравнении 5x = 10), сразу же
получили возможность выделить неизвестное х, упростив уравнение путем деления его обеих частей на 5. Это немного напоминает, как скульптор
обрабатывает кусок мрамора, пытаясь освободить статую из камня.
Потребовалась бы несколько иная тактика, если бы мы столкнулись
с необходимостью вычесть известное число из неизвестного, как в уравнении х – 2 = 5. Чтобы выделить x в этом случае, мы избавляемся от 2,
добавив ее в обе части уравнения. Следовательно, слева будет х, а справа
5 + 2 = 7. Таким образом, x = 7, что вы, конечно, уже поняли.
Хотя этот метод сейчас знаком всем студентам, изучающим алгебру, они не осознают, что от него произошло само понятие алгебры.
В начале IX века работавший в Багдаде математик Мухаммад ибн Муса
аль-Хорезми38 написал фундаментальный учебник, в котором говорилось, что к обеим частям уравнения следует прибавлять величину, равную вычитаемой величине (число 2 в приведенном выше примере). Он
назвал этот процесс al-jabr (по-арабски «восстановление»), что позже
трансформировалось в «алгебру». Затем, спустя много лет после своей
смерти, он опять выиграл этимологический джекпот, поскольку его собственное имя, аль-Хорезми, живет и доныне в слове «алгоритм».
В своем учебнике, прежде чем начать пробираться сквозь хитросплетения вычислительного наследия прошлого, аль-Хорезми описал более
сложный класс уравнений, воплощающий соотношение между тремя
видами чисел, а не только теми двумя, которые мы рассматривали выше.
Наряду с известными числами и неизвестными (х) в эти уравнения также
включены квадраты неизвестных (x2). Они теперь называются квадратными уравнениями, от латинского quadratus, то есть «квадрат». Древние ученые в Вавилоне, Египте, Греции, Китае и Индии уже бились над
головоломками, часто возникающими в архитектурных или геометрических задачах, связанных с определением площадей или пропорций, и показали, как решать некоторые из них.
Например, аль-Хорезми рассмотрел квадратное уравнение
x2 + 10x = 39.

80

СООТНОШЕНИЯ

Однако в его время такие задачи формулировались устно, а не в виде
уравнений. Он задал вопрос: «Какая площадь при увеличении на десять собственных корней дает 39?» (Здесь термин «корень» относится
к неизвестным х).
Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали
выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приемы, используемые ранее,
неэффективны, так как члены уравнения x2 и 10x здесь наступают друг
другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них,
другой член остается связанным. Например, если мы разделим обе части
уравнения на 10, 10x сократится до x (к чему мы и стремились), но x2 превратится в x2/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно
сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.
На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения
стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще,
а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать
все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод все
равно будет работать.
Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x2 — это площадь квадрата со стороной x.
x
x

x2

Второй член 10x можно рассматривать как площадь прямоугольника
10 на х, или, более изощренно, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х. (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного маневра, который последует далее, —
получения полного квадрата.)

ИГРА С КВАДРАТАМИ

81
x

x

5x 5
10 10x

x

=

5x 5

Прикрепите два новых прямоугольника к площади x2 для получения
г-образной фигуры x2 + 10x:
x

5

x

x2

5x

5

5x
x

В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если
г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким
должен быть х?
x

5

x

x2

5x

5

5x
x

39

=

x2 + 10x = 39

Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему
шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная
фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение
и заполним квадрат.
x

5

x

x2

5x

5

5x

25

=

x
(x + 5)2 = 64

39

+

25

82

СООТНОШЕНИЯ

Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных
единиц к уже существующей площади х2 + 10х и в общей сложности дает x2 + 10x + 25. Это равносильно выражению общей площади
в виде (x + 5)2, так как каждая сторона заполненной площади равна
х + 5 единиц.
Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x2 + 10x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его
правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в
(х + 5)2 = 64.
Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из
его обеих частей, получаем х + 5 = 8 и, следовательно, х = 3.
Число 3 действительно является корнем уравнения х2 + 10x = 39.
Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (выйдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.
В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался
алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому ответу, так как не упомянул, что отрицательное число х = –13 тоже является
корнем. Возведение его в квадрат дает 169, умножение на 10 даст –130,
а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние времена было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрицательной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше
обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные решения одинаково правильными.
Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми ученые
пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться
аналогичным способом — путем заполнения квадратов до тех пор, пока
они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным
корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргументации выявляет, что решения любых квадратных уравнений

ИГРА С КВАДРАТАМИ

83

ax2 + bx + c = 0
(где a, b, c — известные, но произвольные числа, а х — неизвестная) могут быть представлены в виде формулы для вычисления их корней
х=

–b ± √b2 – 4ac
.
2a

Что такого примечательного в этой формуле и насколько она точна
и всеобъемлюща? Ответы находятся прямо в ней: она работает при любых коэффициентах a, b и c. Учитывая наличие бесконечного множества
возможных вариантов значений каждого из них, для одной формулы это
уже немало.
В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и ученые используют их
для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов
и небоскребов, расчетов движения пушечного ядра, снижения и роста
популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.
Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем
немало.

Инструменты силы

11

Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно,
помните сериал под названием «Детективное агентство “Лунный свет”»
с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов Дэвида
Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.

86

СООТНОШЕНИЯ

В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником.
«Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их
понимаете?»
Это довольно точно отражает всеобщее отношение к логарифмам.
Большинство людей после окончания средней школы их никогда уже
больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.
То же самое касается и многих других функций39, рассматриваемых
в высшей математике и началах анализа. Степенны2е функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось
нажимать на кнопки инженерного калькулятора.
Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое
делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.
Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения у = 4 – х2. Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы